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Creator
Karl Marx
Date
1879
Archive
IISG, ARCH00860
Identifier
Sign. A 104, B. 327
Date added
7 October 2026 3.37 am
Date modified
7 October 2026 3.37 am

Document notes

S. 1

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(50) A83f4 I) Lagrange's Entwicklung (somenatat modified)) zu Taylorischen Theorems auf algebraischer Basis. A) A 1) wann , f(x) sie jede beliebige Funktion der variablen x, so so dass letzte zugleich unbestimmt, (indeterminat) d.h. jeder Grösse fürtig - also auch f(x) nicht darstellen in Gleichung vom bestimten Grad. wann Erhält sie variable x dann ein increment (positiv od[er] negativ) h, wird also x zu x + h, so ist b(x + h) = f(x) + p h + q h2 + 2 h3 + 2 h4 + etc; d.h. Sach der unentwickelte Ansdruck der Funktion (x + h) ist darstellenbar in einer endloren Reise, deren erstes Gleich = f(x), in deren Folgende Glieder successiv abgeleitete in-vornehender Funktionen von x) - ind, nämlich die Coefficient n, q, r, s etc, welcheh d. endliche, bestimte beinte Glieder und er welche betrachtet in der betrage der Reise mit ganzen in positionen Ebenzen des increment h in vornenster ginder Reise alsihren Faktoren In der Gleichung f(x + h) = f x + v p h + q h2 + 2 h3 + 2 h4 + etc (I) ist die erste teile d. Reise also der unentwickelte allgemeine Ansdruck der zweith das increment h veränderten Funktion von x, die 2te teile die allgemeine Entwicklung des Faktens in einer vielfältigen und endloren Reise, wie in ihr Entwicklungsgesetz sich darstellen wird. 2) Betraitten wir zunächst die erste teile d. Gleichung f(x + h), so klar, dass wenn h = 0 wird , f(x + h) = f(x + 0) = f x wird, d.h. dass sie wieder auf die Originalfunktion f(x) reduziert ist die 2te teile der Gleichung muss dabe eine solche Gertalt haben, dass wenn h = 0 gesetzt wird , sie ebenfalls auf f(x) reduziert, also die identische Gleichung b x = b x erthalten wird *1) Diese Bedingung nur erfüllbar, wenn die Geruntgleichung zusammenfassbar in der Form: b(x + h) = b x + (p + q h + 2 h3 + 2 h3 + etc) h, in vornen. Coefficienten h = p1 so erthalten wir b(x + h) = b x + p h. 1) b(x + h) = b x + p h. Wird h = 0 gesetzt, so erthalten wir - welches in der Werth vom P sei - j n = f x. das erste Glied des Entwicklungs Rechte muss also die Originalfunktion von x - b x - sein. Der Minimalwert h vom P, in daher das Entwicklungsminimum der Reite, das in jeder weiten Expansion derselben als Glied enthalten sein muss, ist offenbar vorhanden, wenn P selbst keine weitere Funktion von h in vornen enthalt einzubliert, sondern nur h als Coefficient anmer sich hat. Diesen Minimalwert vom P wollen wir P nennen. In die Entwicklungspreite alle Werthe vom P einbegegnet, enthalt sie nothwendig auch seinen Minimal Werth p. Anders seits kann P h nicht erschöpft sein in dem Ansdruck p h, da in Folge des unbestimten Charakters von x der entwickelte Ansdruck von f(x + h) an einer endloren Reite von Gliedern bestehn muss in dies nur möglich sofern P selbst wieder Funktionen von h einzubliert. P muss also zunächst wieder zu sein erfassbar seine in dem Ansdruck: P = p + q h; setzen wir hier h = 0, so P reduziert auf p als einen Minimalwert h {n p (x + h) = b x + p h + q h2 + 2 h3 + etc, welches = b x + (p + q h + 2 h3 + 2 h3 + etc) h: in P = n + q h + 3 h3 + 3 h3 + etc, so klar, dass wenn h = 0 gesetzt, P = p wird also Minimalentwickl. = f(x + h) = f x + p h. Das mit d. Minimum was d. Entwickl. b(x + h) stets einzuligen wur Wir erhalten so: b(x + h) = b x + (p + q h) h {da P h = (p + q h) h} wie b(x) = a x; b(x + h) = a (x + h) = b x + a h d. b(x + h) = b x + p h + q h2. Wie P wieder Funktion von h involuerte, so q seine reich. Wie beschäftigernus aber zunächst, bevor mir weiter gehn. n q h2 in ebenso reine Weiterentwicklung anmer acht lassend - nur mit den 2 Ersten Gliedern der Entwicklungspreite, also mit d. Ansdruck: b(x + h) = b x + p h. Da das 2h mit h in der ersten Stellung behaftete Glied p keine weitere zunutzen von h in vornen enthalt, so kan es nur eine Funktion von x sein, also die erste von d. Originalfunktion von x abgeleitete Funktion derselben, oder f1 x. Also b(x + h) = b x + p h... = p h b(x + h) = b x + p h... wenn das erste Glied der Entwicklungspreite